貸金業者から、子供の借金を肩代わりして返済するよう求められています。親の私には、そのような責任があるのですか？

当然には、そのような責任はありません。

貸金業者は、貸金業法により、法律上の支払義務を負わない人（借主の親、兄弟姉妹など）に対し、取立てを行うことが禁止されています。

単に「親だから」という理由だけで肩代わりを求められても、応じる必要はありません。

ただし、親が子供の借金の保証人や連帯保証人になっている場合には、保証人（連帯保証人）としての責任に基づいて、債権者の請求に応じる義務があります。